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2013年海南高考数学（理）试题（真题）
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数学(理科)
注意事项：2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)
数学(理科)
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、 选择题：本大题共10小题。每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合M={x|(x-1)2 < 4,x∈R｝，N={-1，0，1，2，3｝，则M∩N=( )
(A){0，1，2｝ (B){-1，0，1，2｝
(C){-1，0，2，3} (D){0，1，2，3}
(2)设复数z满足(1-i)z=2 i，则z= ( )
(A)-1+i (B)-1-i (C)1+i (D)1-i
(3)等比数列{an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=( )
(A) (B) (C) (D) (4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。直线l满足l⊥m，l⊥n， ，则( )
(A)α∥β且l∥α (B)α⊥β且l⊥β
(C)α与β相交，且交线垂直于l (D)α与β相交，且交线平行于l
(5)已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=( )
(A)-4 (B)-3
(C)-2 (D)-1
(6)执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=
(A) (B) (C) (D) (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz中的坐标分
别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，0)，画该四
面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视
图可以为
(A) (B) (C) (D)
(8)设a=log36,b=log510,c=log714,则
(A)c>b>a (B)b>c>a (C)a>c>b (D)a>b>c
(9)已知a>0，x，y满足约束条件 ,若z=2x+y的最小值为1，则a=
(A) (B) (C)1 (D)2
(10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是
(A) xα∈R,f(xα)=0
(B)函数y=f(x)的图像是中心对称图形
(C)若xα是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(-∞,xα)单调递减
(D)若x0是f(x)的极值点，则 (11)设抛物线y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为
(A)y2=4x或y2=8x (B)y2=2x或y2=8x
(C)y2=4x或y2=16x (D)y2=2x或y2=16x
(12)已知点A(-1，0);B(1，0);C(0，1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是
(A)(0，1)(B) ( C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
(13)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则 =_______.
(14)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为 ，则n=________.
(15)设θ为第二象限角，若 ，则 =_________.
(16)等差数列{an}的前n项和为Sn ，已知S10=0，S15 =25，则nSn 的最小值为________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB。
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若b=2，求△ABC面积的最大值。
(18)如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，
AA1=AC=CB= AB。
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B
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C
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A
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A1
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B1
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C1
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D
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E
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(19)(本小题满分12分)
经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元。根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示。经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品。以x(单位：t，
100≤x≤150)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
(Ⅰ)将T表示为x的函数
(Ⅱ)根据直方图估计利润T，不少于57000元的概率;
(Ⅲ)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，
需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x )则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入 的利润T的数学期望。
(20)(本小题满分12分)
平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： (a>b>0)右焦点的直线x+y- =0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 (Ι)求M的方程
(Ⅱ)C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ex-ln(x+m)
(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时，证明f(x)>0
请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。
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A
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B
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C
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D
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E
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F
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于点D，E、F分别为弦AB与弦AC上的点，
且BC•AE=DC•AF，B、E、F、C四点共圆。
(1) 证明：CA是△ABC外接圆的直径;
(2) 若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆
的面积与△ABC外接圆面积的比值。
(23)(本小题满分10分)选修4——4;坐标系与参数方程
已知动点P，Q都在曲线C： 上，对应参数分别为β=α
与α=2π为(0<α<2π)M为PQ的中点。
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。
(24)(本小题满分10分)选修4——5;不等式选讲
设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
(Ⅰ) (Ⅱ)http://jianlimoban.c321.cn/
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