《垂直于弦的直径》的课程教学设计
第一课时 (一)
教学目标 :
(1)理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程;能初步应用垂径定理进行计算和证明;
(2)进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力;
(3)通过圆的对称性,培养学生对数学的审美观,并激发学生对数学的热爱。
教学重点、难点:
重点:
①垂径定理及应用;
②从感性到理性的学习能力。
难点:垂径定理的证明。
教学学习活动设计:
(一)实验活动,提出问题:
1、实验:让学生用自己的方法探究圆的对称性,教师引导学生努力发现:圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性。
2、提出问题:老师引导学生观察、分析、发现和提出问题。
通过演示实验观察感性理性引出垂径定理。
(二)垂径定理及证明:
已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CDAB,垂足为E。
求证:AE=EB, =, =。
证明:连结OA、OB,则OA=OB。又∵CDAB,直线CD是等腰△OAB的对称轴,又是⊙O的对称轴。所以沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合, 、 分别和 、 重合。因此,AE=BE, =, =。从而得到圆的一条重要性质。
垂径定理:平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。
组织学生剖析垂径定理的条件和结论:
CD为⊙O的直径,CDAB AE=EB,
为了运用的方便,不易出现错误,将原定理叙述为:
①过圆心;
②垂直于弦;
③平分弦;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧。
加深对定理的理解,突出重点,分散难点,避免学生记混。
(三)应用和训练
例1、已知在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径。
分析:要求⊙O的半径,连结OA,只要求出OA的长就可以了,因为已知条件点O到AB的距离为3cm,所以作OEAB于E,而AE=EB= AB=4cm。此时解Rt△AOE即可。
解:连结OA,作OEAB于E。
则AE=EB。
∵AB=8cm,AE=4cm。
又∵OE=3cm,
在Rt△AOE中,
(cm)。
⊙O的半径为5 cm。
说明:①学生独立完成,老师指导解题步骤;②应用垂径定理计算:涉及四条线段的`长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h
关系:r =h+d; r2 =d2 + (a/2)2
例2、 已知:在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证AC=BD。(证明略)
说明:此题为基础题目,对各个层次的学生都要求独立完成。
练习1:教材P78中练习1,2两道题。由学生分析思路,学生之间展开评价、交流。
指导学生归纳:①构造垂径定理的基本图形,垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法;②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线弦心距。
(四)小节与反思
教师组织学生进行:
知识:
(1)圆的轴对称性;
(2)垂径定理及应用。
方法:
(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;
(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线弦心距;
(3)为了更好理解垂径定理,一条直线只要满足
①过圆心;
②垂直于弦;则可得
③平分弦;
④平分弦所对的优弧;
⑤平分弦所对的劣弧。
(五)作业
教材P84中11、12、13。
第二课时 (二)
教学目标 :
(1)使学生掌握垂径定理的两个推论及其简单的应用;
(2)通过对推论的探讨,逐步培养学生观察、比较、分析、发现问题,概括问题的能力。促进学生创造思维水平的发展和提高
(3)渗透一般到特殊,特殊到一般的辩证关系。
教学重点、难点:
重点:
①垂径定理的两个推论;
②对推论的探究方法。
难点:垂径定理的推论1。
学习活动设计:
(一)分解定理(对定理的剖析)
1、复习提问:定理:平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧。
2、剖析:
(教师指导)
(二)新组合,发现新问题:(A层学生自己组合,小组交流,B层学生老师引导)
(包括原定理,一共有10种)
(三)探究新问题,归纳新结论:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦对应的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦对应的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
(4)圆的两条平行线所夹的弧相等。
(四)巩固练习:
练习1、平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧这句话对吗?为什么?
(在推论1(1)中,为什么要附加不是直径这一条件。)
练习2、填空:在⊙O中,
(1)若MNAB,MN为直径,则________,________,________;
(2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则则________,________,________;
(3)若MNAB,AC=BC,则________,________,________;
(4)若 =,MN为直径,则________,________,________。
(此题目的:巩固定理和推论)
(五)应用、反思
例、四等分 。
(A层学生自主完成,对于其他层次的学生在老师指导下完成)
教材P80中的第3题图,是典型的错误作。
此题目的:是引导学生应用定理及推论来平分弧的方法,通过学生自主操作培养学生的动手能力;通过与教材P80中的第3题图的对比,加深学生对感性知识的认识及理性知识的理解。培养学生的思维能力。
(六)小结:
知识:垂径定理的两个推论。
能力:
①推论的研究方法;
②平分弧的作图。
(七)作业 :
第三课时
垂径定理及推论在解题中的应用
教学目的:
⑴要求学生掌握垂径定理及其推论,会解决有关的证明,计算问题。
⑵培养学生严谨的逻辑推理能力;提高学生方程思想、分类讨论思想的应用意识。
⑶通过例4(赵州桥)对学生进行爱国主义的教育;并向学生渗透数学来源于实践,又反过来服务于实践的辩证唯物主义思想
教学重点:垂径定理及其推论在解题中的应用
教学难点 :如何进行辅助线的添加
教学内容:
(一)复习
1垂径定理及其
推论1:对于一条直线和一个圆来说,具备下列五个条件中的任何个,那么也具有其他三个:
⑴ 直线过圆心 ;
⑵ 垂直于弦 ;
⑶ 平分弦 ;
⑷ 平分弦所对的优弧 ;
⑸ 平分弦所对的劣弧。可简记为:知2推3
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
2应用垂径定理及其推论计算(这里不管什么层次的学生都要自主研究)
涉及四条线段的长:弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系:r =h+d ; r2 =d2 + (a/2)2
3常添加的辅助线:(学生归纳)
⑴ 作弦心距 ;
⑵ 作半径 。——————构造直角三角形
4可用于证明:线段相等、弧相等、角相等、垂直关系;同时为圆中的计算、作图提供依据。
(二)应用例题:(让学生分析,交流,解答,老师引导学生归纳)
例1、1300多年前,我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米,拱高(弧中点到弦的距离,也叫弓形的高)为7.2米,求桥拱的半径(精确到0.1米)。
说明:
①对学生进行爱国主义的教育;
②应用题的解题思路:实际问题(转化,构造直角三角形)数学问题。
例2、已知:⊙O的半径为5 ,弦AB∥CD ,AB =6 ,CD =8 。求:AB与CD间的距离。(让学生画图)
解:分两种情况:
(1)当弦AB、CD在圆心O的两侧
过点O作EFAB于E,连结OA、OC,
又∵AB∥CD,EFCD。(作辅助线是难点,学生往往作OEAB,OFAB,就得EF=OE+OF,错误的结论)
由EF过圆心O,EFAB,AB =6,得AE=3,
在Rt△OEA中,由勾股定理,得
同理可得:OF=3
EF=OE+OF=4+3=7。
(2)当弦AB、CD在圆心O的同侧
同(1)的方法可得:OE=4,OF=3。
说明:
①此题主要是渗透分类思想,培养学生的严密性思维和解题方法:确定图形分析图形数形结合解决问题;
②培养学生作辅助线的方法和能力。
例3、 已知:AB是⊙O的弦,半径OC∥AB ,AB=24 ,OC =15 。求:BC的长。
解:(略,过O作OEAE于E ,过B作BFOC于F ,连结OB。BC =)
说明:通过添加辅助线,构造直角三角形,并把已知与所求线段之间找到关系。
(三)应用训练:
P8l中1题。
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后。截面如图所示,若油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
学生分析,教师适当点拨。
分析:要求油的最大深度,就是求有油弓形的高,弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差,从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形,然后利用垂径定理和勾股定理来解决。
(四)小结:
1 垂径定理及其推论的应用注意指明条件。
2 应用定理可以证明的问题;注重构造思想,方程思想、分类思想在解题中的应用。
(五)作业 :教材P84中15、16题,P85中B组2、3题。
探究活动
直线MN与⊙O交于点A、B,CD是⊙O的直径,CEMN于E,DFMN于F,OHMN于H。
(1)线段AE、BF之间存在怎样的关系?线段CE、OH、DF之间满足怎样的数量关系?并说明理由。
(2)当直线CD的两个端点在MN两侧时,上述关系是否仍能成立?如果不成立,它们之间又有什么关系?并说明理由。
(答案提示:(1)AE=BF,CE+DF=2OH,(2)AE=BF仍然成立,CE+DF=2OH不能成立。CE、DF、OH之间应满足)
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